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German Extremwertaufgaben

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old Extremwertaufgaben

Chopii
User Off Offline

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Hi Leute,
ich bin am Verzweifeln:

Der stündliche Brennstoffverbrauch y (in t) eines Schiffes ist durch y = 0,3 + 0,001 * x³ (y = a+b*x^c) gegeben, wobei x die Geschwindigkeit ist und a,b,c Konstante sind. Die Gesamtkosten bestehen aus variablen Kosten, die von der Geschwindigkeit abhängig sind, und aus festen Kosten, die von der Geschwindigkeit unabhähgig sind.
Bei welcher Geschwindigkeit werden die Gesamtkosten einer Fahrt von 1000 sm (Seemeilen) am geringsten?

Folgendes hab ich mir notiert:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y = 0,3 + 0,001 * x³
a,b,c...Konstante
x...Geschwindigkeit (konstant)
y...Verbrauch/Stunde
s...Weg

s = 1000 (sm)

Kosten -> min
Kann mir da jemand weiterhelfen? Wäre sehr dankbar

MFG,
Benji

old Re: Extremwertaufgaben

Der Muggemann
User Off Offline

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a,b,c kannst du eigentlich direkt vergessen, weil sie ja gegeben sind (a=0,3/b=0,001/c=3)
Ich würde die Gleichung einfach in meinen Taschenrechner eingeben und das Minimum bestimmen.
Ich weis jetzt nicht, ob und welchen Taschenrechner ihr habt, deswegen weis ich nicht ob du das auch kansst.

Ansonsten:
-1. Ableitung bilden!
-Nullstelle der 1. Ableitung bestimmen!
-und x-Wert in die Ausgangsgleichung einsetzen um y-Wert zu erhalten!

old Re: Extremwertaufgaben

iii
User Off Offline

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Ja, ich weiß nicht wofür du die Lösung brauchst (Mahteuntericht?) aber wenn ihr in der 11 Klasse seid und grad beim Thema ganzrationale funktionen würde ich Polynomdivision vorschlagen

F(x):0,001x³(+0x²)+0,3(x^1)=1000 (musst die Einheiten überprüfen)

Dann:
-auf null umformen
-x raten sodass y=0
in die form (F(x) ) : (x- nullstelle)= quad.Funktion
-quad.Funktion auflösen und plausibelste nullstelle als lösung angeben)

old Re: Extremwertaufgaben

TheEvilWorm
User Off Offline

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Ich würde es so machen wie Muggemann. Die 1000 Seemeilen sind eine irrelevante Größe, wenn die Aufgabe so stimmt, wie du sie dir notiert hast.

Du kannst dir den Graphen zur Funktion auch von deinem Taschenrechner zeichnen lassen und das Minimum suchen (das "Tal".)

Wenn du es rechnerisch machen willst, hat Muggemann dir schon eine Anleitung geliefert. Am Ende müsstest du der Korrektheit halber noch die zweite Ableitung bestimmen und dort die Stelle des Minimums einsetzen, um zu prüfen, ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist.
Wenn
f''(x) < 0 Hochpunkt
f''(x) > 0 Tiefpunkt

Viel Glück.

old Re: Extremwertaufgaben

Tau
User Off Offline

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Schreibe doch mal die Geschwindigkeit als Strecke / Zeit, dann könntest du drauf kommen.

old Re: Extremwertaufgaben

humer
User Off Offline

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Hier meine Lösung:

y=0,3 + 0,001*x^3      (1)

Die var.Kosten ergeben sich aus dem Gesamtverbrauch für die Strecke s mit der Geschwindigkeit x.
Für den Gesamtverbrauch 'Y' gilt

Y= (1000/x) * y          (2)

1 -> 2

Y= (1000/x) * [0,3 + 0,001*x^3]

bissl rumrechnen

Y= (300x^-1) + x^2

Die niedrigsten Kosten erhalten wir bei niedrigstem Gesamtverbrauch, also 1 Ableitung = 0 setzen.

Y'= -300x^-2 + 2x = 0
=> x^-2 = (1/150)x
=> x^-3 = (1/150)
=> x ~ 5,313 sm/h ??

Den Gesamtverbrauch erhälst du, indem du den Wert in obige Gleichung einsetzt.
Y ~ 84,69t

//Die Funktion y gibt den Brenstoffverbrauch an und berücksichtigt dabei nicht die Strecke, die zurückgelegt wird. Der Brennstoffverbrauch steigt natürlich mit der Geschwindigkeit, in dem Fall, kubisch an. Da ihr aber mit steigender Geschwindigkeit, auch umso schneller die 1000sm zurücklegt, werden die Kosten dadurch natürlich gedrückt, bis zu einem bestimmten Punkt.

Ich hoffe ich hab keine Fehler gemacht oder die Aufgabe falsch verstanden.

old Re: Extremwertaufgaben

Chopii
User Off Offline

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@humer: Danke für deine ausführliche Erklärung. Habs verstanden

@edit: Hab nocht vergessen zu sagen, dass es richtig war
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